☰ matematika1

Koordinatizacija prostora VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Linearna nezavisnost vektora

Duljina vektora, jedinični vektor, kut između vektora i kosinusi smjerova

Duljina ili norma vektora $\mathbf{a}=\{x,y,z\}$ jednaka je

$\displaystyle \vert\mathbf{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$

(3.1)

Naime, dvostrukom primjenom Pitagorinog poučka (slika 3.7) dobijemo:

$\displaystyle % \vert\overrightarrow{OT}\vert^2=\vert\overrightarrow{OT'}\vert^... ...ow{OP}\vert^2+\vert\overrightarrow{OQ}\vert^2+\vert\overrightarrow{OR}\vert^2.$

Jedinični vektor vektora $\mathbf{a}\neq\mathbf{0}$ je vektor

$\displaystyle % \mathbf{a}_0=\frac{\mathbf{a}}{\vert\mathbf{a}\vert}.$

Iz definicije slijedi

$\displaystyle % \vert\mathbf{a}_0\vert=\left\vert \frac{\mathbf{a}}{\vert\mathbf{a}\vert} \right\vert =\frac{1}{\vert\mathbf{a}\vert} \vert\mathbf{a}\vert=1,$

odnosno jedinični vektor ima duljinu jedan, kolinearan je vektoru $\mathbf{a}$ i ima istu orijentaciju. Na primjer, vektori $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ i $\mathbf{k}$ su sami svoji jedinični vektori.

Neka je $\mathbf{a},\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ i neka su $\overrightarrow{OA}$ i $\overrightarrow{OB}$ njihovi predstavnici s hvatištem u točki , redom. Kut između vektora $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ definiramo kao kut između usmjerenih dužina $\overrightarrow{OA}$ i $\overrightarrow{OB}$ ,

$\displaystyle \angle(\mathbf{a},\mathbf{b})=\angle(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}).$

Prikloni kutovi vektora $\mathbf{a}\neq\mathbf{0}$ su kutovi koje taj vektor zatvara s vektorima $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ i $\mathbf{k}$ . Kosinusi smjerova su kosinusi priklonih kutova.

Teorem 3.1 Kosinusi smjerova vektora $\mathbf{a}\neq\mathbf{0}$ jednaki su skalarnim komponentama jediničnog vektora $\mathbf{a}_0$ .

Dokaz.

Tvrdnja slijedi iz definicije skalarnog produkta u poglavlju 3.9 (vidi primjer 3.6).

Q.E.D.

Ako je $\mathbf{a}=x\, \mathbf{i}+y\, \mathbf{j}+z\, \mathbf{k}$ i ako priklone kutove označimo redom s $\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ , tada je

$\displaystyle % \cos \alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad \cos \beta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad \cos \gamma=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$

Očito je

$\displaystyle \mathbf{a}_0$	$\displaystyle =\cos \alpha\, \mathbf{i}+\cos \beta\, \mathbf{j}+\cos \gamma\, \mathbf{k},$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle =\cos^2 \alpha+\cos ^2\beta+\cos^2\gamma.$

Primjer 3.3 Ako je $\mathbf{a}=\mathbf{i}-3\, \mathbf{j}+2\, \mathbf{k}$ , tada je

$\displaystyle \mathbf{a}_0$	$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{14}}\, \mathbf{i}-\frac{3}{\sqrt{14}}\, \mathbf{j} +\frac{2}{\sqrt{14}}\, \mathbf{k},$
$\displaystyle \cos \alpha$	$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{14}}, \quad \cos \beta=-\frac{3}{\sqrt{14}}, \quad \cos \gamma=\frac{2}{\sqrt{14}}.$

Koordinatizacija prostora VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Linearna nezavisnost vektora