Koordinatizacija prostora

☰ matematika1

Koordinatizacija ravnine Koordinatizacija Duljina vektora, jedinični vektor,

Koordinatizacija prostora

Koordinatizaciju trodimenzionalnog prostora ${\cal E}$ dobijemo slično kao u prethodnim poglavljima. Prvo odaberemo ishodište i međusobno okomite pravce , i koji prolaze kroz točku . U ravnini razapetoj s pravcima i definiramo desni pravokutni koordinatni sustav $(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$ na način opisan u poglavlju 3.5.2. Potom na pravcu definiramo koordinatni sustav $(O,\mathbf{k})$ tako da vektori $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ i $\mathbf{k}$ zadovoljavaju pravilo desnog vijka. Time smo definirali desni pravokutni koordinatni sustav $(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ u prostoru ${\cal E}$ koji je prikazan na slici 3.7. Pri tome vrijedi

$\displaystyle % \mathbf{i}=\overrightarrow{OI}, \quad \mathbf{j}=\overrightarro... ...{OK}, \qquad \vert\mathbf{i}\vert=\vert\mathbf{j}\vert=\vert\mathbf{k}\vert=1.$

**Slika 3.7:** Koordinatizacija prostora
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/koordp.eps,width=10.2cm}\end{center}\end{figure}$

Brojevni pravci koje smo nanijeli na pravce , i su koordinatne osi i to redom apscisna, ordinatna i aplikatna os ( -os, -os i -os). Tri ravnine - , - i - , koje su određene odgovarajućim koordinatnim osima, zovu se koordinatne ravnine i dijele prostor na osam oktanata.

Neka je zadana točka $T\in \cal E$ . Ravnine paralelne s koordinatnim osima koje prolaze kroz točku sijeku koordinatne osi u točkama , i (slika 3.7). Koordinate tih točaka u koordinatnim sustavima $(O,\mathbf{i})$ , $(O,\mathbf{j})$ i $(O,\mathbf{k})$ jednake su , i . Brojevi , i su koordinate točke , odnosno je apscisa, je ordinata, a je aplikata točke .

Brojevi , i su također skalarne komponente vektora $\mathbf{a}=\overrightarrow{OT}$ u sustavu $(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ . Prema pravilu o zbrajanju vektora iz poglavlja 3.2 vrijedi (slika 3.7)

$\displaystyle % \overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OT'}+\overrightarrow{OR}=x\, \overrightarrow{OI} + y\, \overrightarrow{OJ} +z\, \overrightarrow{OK},$

odnosno

$\displaystyle % \mathbf{a}=x\, \mathbf{i}+y\, \mathbf{j}+z\, \mathbf{k}.$

Skalarne komponente jednoznačno su određene točkom pa za označavanje vektora koristimo skraćene zapise

$\displaystyle % \mathbf{a}=\{x,y,z\}, \qquad \mathbf{a}=\begin{bmatrix}x& y & z\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{a}=\begin{bmatrix}x\\ y\\ z \end{bmatrix}.$

Kako vektor u prostoru možemo zapisati ili kao retčanu matricu dimenzije $1\times 3$ ili stupčanu matricu dimenzije $3\times 1$ , zbrajanje vektora i množenje vektora skalarom odgovara zbrajanju matrica i množenju matrica skalarom.

U koordinatnom sustavu možemo naći skalarne komponente vektora, odnosno usmjerene dužine koja je zadana s dvije točke.

Primjer 3.2 Neka su zadane točke

. Kao što se vidi na slici 3.8 vrijedi

$\displaystyle % \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB},$

odnosno

$\displaystyle % \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.$

Dakle,

$\displaystyle % \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\, \mathbf{i}+(y_B-y_A)\, \mathbf{... ..._A) \, \mathbf{k} = \begin{bmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{bmatrix}.$

Na primjer,

$\displaystyle % A=(1,2,3)\quad \wedge \quad B=(-1,0,5)\quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\{ -2,-2,2\}.$

**Slika 3.8:** Komponente vektora
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/kompv.eps,width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

Napomena 3.1 Kod definicije pravokutnih koordinatnih sustava u ovom i prethodnom poglavlju koristili smo međusobno okomite pravce. Međutim, koordinatni sustav se može definirati i s pravcima koji nisu međusobno okomiti. Tako kod koordinatizacije ravnine možemo uzeti bilo koja dva pravca koja prolaze kroz točku

i nisu paralelna. Slično, kod koordinatizacije prostora možemo uzeti bilo koju koordinatizaciju neke odabrane ravnine u prostoru i treći pravac koji prolazi kroz ishodište i ne leži u toj ravnini (vidi poglavlje 3.8).

Koordinatizacija ravnine Koordinatizacija Duljina vektora, jedinični vektor,