Linearna nezavisnost vektora

Definicija linearne nezavisnosti vektora u prostoru ${\cal E}$ jednaka je definiciji linearne nezavisnosti stupčanih vektora iz poglavlja 2.5, pri čemu smo se ovdje ograničili na trodimenzionalni prostor.

Linearna kombinacija vektora $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ je vektor

$\displaystyle % \mathbf{a}=\lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k, \quad \lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R},$

Vektori $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_k$ su linearno nezavisni ako za sve skalare $\lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R}$

$\displaystyle % \lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k= \mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1= \cdots = \lambda_k=0.$

U protivnom su vektori linearno zavisni. Drugim riječima, vektori $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ su linearno zavisni ako i samo ako postoje $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ takvi da je

$\displaystyle % \lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k= \mathbf{0},$

pri čemu je $\sum \vert\lambda_i\vert>0$ .

Ako je

$\displaystyle % \mathbf{a}_1=\{x_1,y_1,z_1\},\cdots, \mathbf{a}_k=\{x_k,y_k,z_k\},$

tada je linearna nezavisnost vektora $\mathbf{a}_1,\cdots, \mathbf{a}_k$ ekvivalentna s linearnom nezavisnošću stupaca matrice

$\displaystyle % \begin{bmatrix} x_1&x_2&\cdots&x_k\\ y_1&y_2&\cdots&y_k\\ z_1&z_2&\cdots&z_k \end{bmatrix}.$

Primjer 3.4 Svaka dva kolinearna vektora i svaka tri komplanarna vektora su linearno zavisna. Svaka četiri vektora u prostoru ${\cal E}$ su linearno zavisna. Svaka dva nekolinearna vektora i svaka tri nekomplanarna vektora su linearno nezavisna.