Baza prostora

Svaka tri linearno nezavisna vektora $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ čine bazu prostora ${\cal E}$ i definiraju koordinatni sustav $(O,\mathbf{a},\mathbf{b}, \mathbf{c})$ . Svaki vektor $\mathbf{d}$ iz prostora ${\cal E}$ može se jednoznačno prikazati kao linearna kombinacija vektora baze, odnosno

Sljedeći primjer prikazuje postupak transformacije iz jedne baze u drugu, odnosno iz jednog koordinatnog sustava u drugi.

Primjer 3.5 Neka su u sustavu $(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ zadani vektori

$\displaystyle % \mathbf{a}=\{1,-1,1\},\quad \mathbf{b}=\{1,0,2\}, \quad \mathbf{c}=\{0,1,-1\}.$

Definirajmo matricu

$\displaystyle % A=\begin{bmatrix}1&1&0\\ -1&0&1\\ 1&2&-1 \end{bmatrix}$

čiji su stupci zadani vektori. Vrijedi $\det A=-2\neq 0$ pa je prema svojstvu D8 iz poglavlja 2.9.1 matrica

regularna, odnosno njeni stupci su linearno nezavisni. Dakle, vektori $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ čine bazu.

Da bi vektor $\mathbf{d}=\mathbf{i}+2\, \mathbf{j}+3\, \mathbf{k}$ prikazali u sustavu $(O,\mathbf{a},\mathbf{b}, \mathbf{c})$ trebamo riješiti jednadžbu (3.2), odnosno

$\displaystyle % \begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}= \alpha\begin{bmatrix}1\\... ...{bmatrix}1\\ 0\\ 2\end{bmatrix}+ \gamma\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}.$

Iz interpretacije matričnog množenja u poglavlju 2.1.6 vidimo da je ovo zapravo sustav linearnih jednadžbi

$\displaystyle % \begin{bmatrix}1&1&0\\ -1&0&1\\ 1&2&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}.$

Rješenje sustava je $\alpha= -3/2$ , $\beta= 5/2$ i $\gamma=1/2$ , odnosno

$\displaystyle % \mathbf{d}=-\frac{3}{2}\, \mathbf{a}+\frac{5}{2}\, \mathbf{b}+ \frac{1}{2}\, \mathbf{c}.$

Obratno, vektor $\mathbf{e}=2\, \mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}$ ima u sustavu $(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ zapis

$\displaystyle % \mathbf{e}=A \begin{bmatrix}2\\ -1\\ 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\ -1\\ -1\end{bmatrix}.$