Potencija

☰ matematika1

Potenciranje s prirodnim brojem je funkcija $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definirana s

$\displaystyle f(x)=x^n, \qquad n\in \mathbb{N}.$

Potenciranje je definirano rekurzivno:

	$% latex2html id marker 39284 $\displaystyle x^0=1, \quad \forall x\neq 0, \quad (0^0 \ \textrm{je nedefinirano})$$
	$\displaystyle x^1=x,$
	$\displaystyle x^{n+1}=x^n\cdot x.$

Pravila potenciranja se lako dokažu indukcijom:

	$\displaystyle x^{m+n}= x^m\cdot x^n,$	(P1)
	$\displaystyle (x^m)^n=x^{m\cdot n},$	(P2)
	$\displaystyle (x\cdot y)^n= x^n\cdot y^n.$	(P3)

Primjeri potencija dani su na slici 4.18.

**Slika 4.18:** Potenciranje s prirodnim brojem
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/potencije.eps,width=8.4cm} \end{center}\end{figure}$

Vidimo da su (ne)parne potencije (ne)parne funkcije. Također vidimo da je za neparan

funkcija

bijekcija pa ima inverznu funkciju po teoremu 1.1, dok je za paran

restrikcija funkcije

na interval $[0,\infty)$ bijekcija pa ima inverznu funkciju.

Ako je $x\neq 0$ i $k\in \mathbb{N}$ , tada su dobro definirane i funkcije $f:\mathbb{R}\backslash \{0\} \to \mathbb{R}$ (vidi sliku 4.19)

$\displaystyle f(x)=x^{-k} = \frac{1}{x^{k}}.$

**Slika 4.19:** Funkcije $f(x)=x^{-k}$ , $k\in \mathbb{N}$
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/negative.eps,width=8.4cm} \end{center}\end{figure}$

Pravila (P1), (P2) i (P3) vrijede $\forall m,n \in \mathbb{Z}$ ukoliko su izrazi dobro definirani, odnosno ukoliko nazivnik nije nula.