Kosinusov poučak i adicioni teoremi

☰ matematika1

Opća sinusoida Trigonometrijske funkcije Arkus funkcije

Kosinusov poučak i adicioni teoremi

U ovom poglavlju izvest ćemo neke veze između trigonometrijskih funkcija.

Za pravokutni trokut s katetama i i hipotenuzom , Pitagorin poučak glasi . Za trokut koji nije pravokutan Pitagorin poučak i osnovni trigonometrijski identitet (4.9) daju kosinusov poučak (vidi sliku 4.32):

$\displaystyle c^2$	$\displaystyle =(b\sin x)^2+(b\cos x-a)^2=b^2\sin^2x + b^2\cos^2 x- 2ab\cos x+a^2$
	$\displaystyle =a^2+b^2-2ab\cos x.$

**Slika 4.32:** Kosinusov poučak
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/kosp.eps,width=9.6cm} \end{center}\end{figure}$

Adicioni teoremi nam daju formule za sinus i kosinus zbroja i razlike kutova. Promotrimo sliku 4.33.

**Slika 4.33:** Adicioni teoremi
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/adic.eps,width=9.6cm} \end{center}\end{figure}$

Primjena kosinusovog poučka na trokut $\triangle OQP$ daje

$\displaystyle \vert\overline{PQ}\vert^2 = 1^2+1^2-2\cos (u-t).$

S druge strane, iz Pitagorinog poučka slijedi

$\displaystyle \vert\overline{PQ}\vert^2$	$\displaystyle = (\cos t -\cos u)^2+ (\sin u-\sin t)^2$
	$\displaystyle = \cos^2 t -2\cos t \cos u +\cos^2 u + \sin^2 u -2\sin u \sin t + \sin^2 t$
	$\displaystyle = 1 + 1 -2\cos t \cos u - 2 \sin u \sin t.$

Izjednačavanje gornjih izraza daje prvi adicioni teorem

$\displaystyle \cos (u-t)=\cos u \cos t+\sin u \sin t.$

(A1)

Kako je sinus neparna, a kosinus parna funkcija, zamjena $t\to -t$ daje

$\displaystyle \cos (u+t)=\cos u \cos t-\sin u \sin t.$

(A2)

Dalje, za

imamo

$\displaystyle \cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t.$

(A3)

Zamjena $t\to t-\pi/2$ u (A2) daje

$\displaystyle \cos \big(u+t-\frac{\pi}{2}\big) = \cos u \cos \big(t-\frac{\pi}{2}\big) - \sin u \sin \big(t-\frac{\pi}{2}\big)$

pa jednakost (4.10) povlači

$\displaystyle \sin (u+t)=\cos u \sin t+\sin u \cos t.$

(A4)

Konačno, kada u (A4) izvršimo zamjenu $t\to -t$ imamo

$\displaystyle \sin (u-t)=-\cos u \sin t+\sin u \cos t,$

(A5)

a kada u (A4) uvrstimo

imamo

$\displaystyle \sin 2t=2\sin t\cos t.$

(A6)

Koristeći osnovne adicione teoreme možemo izvesti i razne druge formule.

Zadatak 4.11 Izvedite formule koje funkcije $\sin 3x$ , $\sin 4x$ , $\sin \frac{1}{2}x$ , $\cos 3x$ , $\cos 4 x$ i $\cos \frac{1}{2}x$ prikazuju pomoću funkcija $\sin x$ i $\cos x$ . Izvedite još nekoliko veza između trigonometrijskih funkcija koje se nalaze u Matematičkom priručniku ili logaritamskim tablicama.

Opća sinusoida Trigonometrijske funkcije Arkus funkcije