×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Svojstva logaritama     Pregled elementarnih funkcija     Opća sinusoida

Trigonometrijske funkcije

Promotrimo središnju jediničnu kružnicu implicitno zadanu s

$$x^2+y^2=1.$$

Tu kružnicu ćemo u ovom slučaju još zvati i trigonometrijska kružnica. Njen opseg jednak je

$$O=2r\pi=2\cdot 1\cdot \pi.$$

Broj $\pi$ ima beskonačni neperiodični decimalni zapis, a njegovih prvih pedeset znamenaka glasi

$$3.14159265358979323846264338327950288419716939937508$$

Broj $\pi$ možemo definirati na različite načine. Tako je, na primjer, $\pi$ jednak limesu beskonačnog niza brojeva (vidi zadatak 6.1):

$$\pi=\lim_{n\to +\infty} 2^n \sqrt{\smash[b] {2- \underset{\displa... ...le n-1 \textrm{ korijen }}{\underbrace{ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 \cdots }}}}} }}$$ (4.7)

Također, $\pi$ možemo definirati i pomoću sume beskonačnog reda brojeva (vidi poglavlje 6.2.4):

$$\pi=4\, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=4 \, \bigg( \frac{... ...-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11} + \cdots \bigg).$$

Zanimljiva priča o tome kako je Arhimed izračunao broj $\pi$ s pogreškom manjom od $0.1 \%$ nalazi se na http://www.ima.umn.edu/$\sim$ arnold/graphics.html.

Definirajmo prvo funkcije sinus i kosinus. Na trigonometrijsku kružnicu nanesimo brojevni pravac tako da se broj 0 brojevnog pravca nalazi u točki $I=(1,0)$ u koordinatnom sustavu ravnine, dok se pozitivni dio brojevnog pravca namata na kružnicu u pozitivnom smjeru (obrnuto od kazaljke na satu). Tada se točka $x$ brojevnog pravca nalazi u točki

$$T=(\cos x,\sin x)$$

u koordinatnom sustavu (slika 4.27). Drugim riječima, $\cos x$ je apscisa, a $\sin x$ ordinata točke $T$ u kojoj se nalazi broj $x$ .

Slika 4.27: Trigonometrijska kružnica

Promatrajući sliku 4.27 možemo zaključiti sljedeće:

• funkcije $\sin x$ i $\cos x$ su omeđene (definicija 4.1), odnosno vrijedi
  $$\sin x, \cos : \mathbb{R}\to [-1,1],$$

• $\sin x$ je neparna, a $\cos x$ je parna funkcija (definicija 4.2),
• $\sin x$ i $\cos x$ su periodične funkcije a osnovnim periodom $2\pi$ (definicija 4.4),
• $\sin x$ i $\cos x$ su neprekidne funkcije (definicija 4.6),
• nul-točke funkcija $\sin x$ i $\cos x$ su

  $$\sin x=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x=k\pi, \quad k\in \mathbb{Z},$$

  $$\cos x=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z},$$ (4.8)

  
  

• primjena Pitagorinog poučka na pravokutni trokut s katetama $\sin x$ i $\cos x$ i hipotenuzom jednakom 1 daje osnovni trigonometrijski identitet

  $$\sin^2 x + \cos^2 x=1$$ (4.9)

  
  
  (gornji izraz je identitet, a ne jednadžba, stoga što vrijedi za svaki $x\in \mathbb{R}$ ).

Funkcije $\sin x$ i $\cos x$ prikazane su na slici 4.28.

Slika 4.28: Sinus i kosinus

Pomoću sinusa i kosinusa definiramo tangens i kotangens:

$$\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x\equiv \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x = \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Vidimo da tangens nije definiran u nul-točkama kosinusa, dok kotangens nije definiran u nul-točkama sinusa. Formula (4.8) i definicije sinusa i kosinusa stoga povlače

$$\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits : \mathbb{R}\setminus \big\{ \frac{\pi}{2}+k\pi: \ k\in \mathbb{Z}\big\} \to \mathbb{R},$$

$$\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits : \mathbb{R}\setminus \{ k\pi: \ k\in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R}.$$

U svim točkama u kojima su obje funkcije definirane očito vrijedi

$$\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}.$$

Pored toga, zbog proporcionalnosti

$$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}{1},$$

geometrijski prikaz tangensa je kao na slici 4.27.

Da bi odredili ponašanje funkcije $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ u točkama prekida, moramo posebno promotriti limese slijeva i zdesna. Definicija funkcije $\cos x$ (vidi slike 4.27 i 4.28) povlači

$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{1-0}{+0}=+\infty,$$

$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0} \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0} \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{1-0}{-0}=-\infty.$$

Iz ove analize također možemo zaključiti da je u svim točkama oblika $x=\pi/2+k\pi, k\in \mathbb{Z}$ limes slijeva jednak $+\infty$ , a limes zdesna jednak $-\infty$ . Dakle, funkcija $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ u svim točkama prekida ima prekid druge vrste (definicija 4.7), a pravci

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z},$$

su vertikalne asimptote s obje strane (vidi poglavlje 4.5).

Slična analizu možemo napraviti i za funkciju $\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ . Tangens i kotangens prikazani su na slikama 4.29 i 4.30.

Slika 4.29: Tangens

Slika 4.30: Kotangens

Promatrajući slike 4.29 i 4.30 zaključujemo sljedeće:

• obje funkcije $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ i $\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ su neparne, i to stoga što su kvocijent jedne parne i jedne neparne funkcije (definicija 4.2),
• $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ je strogo rastuća funkcija (definicija 4.3) na svakom podintervalu otvorenog intervala
  $$\big(\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+(k+1)\pi\big),\qquad k\in \mathbb{Z},$$
  a $\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ je strogo padajuća funkcija na svakom podintervalu otvorenog intervala
  $$(k\pi,\, (k+1)\pi), \qquad k\in \mathbb{Z},$$

• $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ i $\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ su periodične funkcije a osnovnim periodom $2\pi$ (definicija 4.4),
• nul-točke funkcije $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ su nul-točke funkcije $\sin x$ , a nul-točke funkcije $\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ su nul-točke funkcije $\cos x$ (vidi formulu (4.8)).

Napomena 4.11   Osnovne vrijednosti funkcija $\sin x$ , $\cos x$ i $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ nalaze se u tablici 4.1 Vrijednosti ovih funkcija u točkama $-\pi/6$ , $-\pi/4$ , $-\pi/3$ , $-\pi/2$ , $2\pi/3$ , $3\pi/4$ , $5\pi/6$ , ..., lako odredimo koristeći tablicu i svojstva funkcija (periodičnost, parnost, odnosno neparnost). Vrijednosti funkcija u nekim drugim točkama kao $\pi/12$ , $7\pi/12$ , ..., možemo odrediti pomoću prethodnih vrijednosti i adicionih teorema koji su opisani kasnije.

Tablica 4.1: Osnovne vrijednosti trigonometrijskih funkcija

$x$	$\sin x$	$\cos x$	$\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$
0	0	$1$	0
$\pi/6$	$1/2$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{3}/3$
$\pi/4$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1$
$\pi/3$	$\sqrt{3}/2$	$1/2$	$\sqrt{3}$
$\pi/2$	$1$	0	$-$

Poglavlja

• Opća sinusoida
• Kosinusov poučak i adicioni teoremi

Svojstva logaritama     Pregled elementarnih funkcija     Opća sinusoida