Arkus funkcije

☰ matematika1

Kosinusov poučak i adicioni Pregled elementarnih funkcija Klasifikacija elementarnih funkcija

Arkus funkcije

Arkus funkcije ili ciklometrijske funkcije su inverzne funkcije odgovarajućih restrikcija trigonometrijskih funkcija. Naime, ni jedna od trigonometrijskih funkcija nije bijekcija (funkcija ne može biti bijekcija čim je periodična). Međutim, u primjenama se često javlja potreba za njihovim inverzima, pa su inverzi definirani za pogodno odabrane restrikcije koje jesu bijekcije. Pri tome se najčešće biraju restrikcije na odgovarajući interval koji je najbliži nuli.

Na slici 4.28 vidimo da je restrikcija sinusa na interval $[-\pi/2,\pi/2]$ bijekcija. Arkus sinus je inverzna funkcija te restrikcije pa vrijedi

$\displaystyle \arcsin \equiv \sin^{-1} : [-1,1] \to \big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big].$

Funkcija $\arcsin x$ prikazana je na slici 4.34. Vidimo da je funkcija strogo rastuća, neparna, neprekidna i nema asimptota.

**Slika 4.34:** Arkus sinus
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/asin.eps,width=8.4cm} \end{center}\end{figure}$

Prema Teoremu o inverznoj funkciji 1.1 vrijedi (slika 4.35):

$\displaystyle \arcsin (\sin x)$	$\displaystyle =x, \qquad x\in \big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big],$
$\displaystyle \sin (\arcsin x)$	$\displaystyle =x, \qquad x\in [-1,1]$

**Slika 4.35:** Kompozicije restrikcije sinusa s arkus sinusom
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/asinsin.eps,width=10.8cm} \end{center}\end{figure}$

Međutim, funkcija $\arcsin (\sin x)$ je definirana za svaki $x\in \mathbb{R}$ , a njen graf dan je na slici 4.36.

**Slika 4.36:** Funkcija $\arcsin (\sin x)$
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/arcss.eps,width=10.8cm} \end{center}\end{figure}$

Funkcija arkus kosinus je inverzna funkcija restrikcije funkcije $\cos x$ na interval $[0,\pi]$ (vidi sliku 4.28) i vrijedi

$\displaystyle \arccos \equiv \cos^{-1} : [-1,1] \to [0,\pi].$

Funkcija $\arccos x$ prikazana je na slici 4.37. Ona je strogo padajuća, neprekidna i nema asimptota.

**Slika 4.37:** Arkus kosinus
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/acos.eps,width=6.6cm} \end{center}\end{figure}$

Funkcija arkus tangens je inverzna funkcija restrikcije funkcije $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ na interval $(-\pi/2,\pi/2)$ (vidi sliku 4.29) i vrijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \equiv \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^{-1} : \mathbb{R}\to \big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big).$

Funkcija $\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x$ je strogo rastuća, neparna i neprekidna te ima horizontalne asimptote i to pravac $y=-\pi/2$ u lijevom i $y=\pi/2$ u desnom kraju (slika 4.38).

Slično, funkcija arkus kotangens je inverzna funkcija restrikcije funkcije $\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ na interval $(0,\pi)$ (vidi sliku 4.30) pa vrijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits \equiv \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits ^{-1} : \mathbb{R}\to (0,\pi).$

Funkcija $\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits x$ je strogo padajuća i neprekidna te ima horizontalne asimptote i to pravac $y=\pi$ u lijevom i

u desnom kraju (slika 4.38). Kako program za crtanje Gnuplot nema ugrađenu funkciju $\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits x$ , tu funkciju smo nacrtali

koristeći vezu

$\displaystyle \mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits x=\frac{\pi}{2}-\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x.$

**Slika 4.38:** Arkus tangens i arkus kotangens
$\begin{figure}\begin{center} \leavevmode \epsfig{file=slike/atanx.eps,width=10.8cm} \end{center}\end{figure}$

Zadatak 4.12 Nacrtajte funkcije

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\cos(\arccos x),$	$\displaystyle \qquad f(x)$	$\displaystyle =\arccos(\cos x),$
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x),$	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits (\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x),$
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits (\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits x),$	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits (\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x),$
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\sin(\arccos x),$	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\arccos(\sin x).$

Kosinusov poučak i adicioni Pregled elementarnih funkcija Klasifikacija elementarnih funkcija