×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Lokalni ekstremi parametarski zadane     DERIVACIJE I PRIMJENE     Točke infleksije

Lokalni ekstremi i intervali monotonosti

Odredite lokalne ekstreme i intervale monotonosti funkcije $f$ zadane s

$$f(x)=\frac{x}{3}-\sqrt[3]x.$$

Rješenje. Zadana funkcija je definirana za svaki $x\in \mathbb{R}$ . Da bismo pomoću [M1, teorem 5.11] ispitali intervale rasta i pada funkcije, odredimo njenu prvu derivaciju. Vrijedi

$$f'(x)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x^2}}.$$

Budući je $f'(x)=0$ za $x_1=-1$ i $x_2=1$ , stacionarne točke su

$$x_1=-1\quad\textrm{ i }\quad x_2=1.$$

Nejednakost $f'(x)>0$ vrijedi ako je $\sqrt[3]{x^2}-1>0$ , odnosno $x^2>1$ , pa je

$$f'(x)>0, \quad x\in \langle-\infty,-1\rangle \cup \langle1,+\infty \rangle$$

i

$$f'(x)<0, \quad x\in \langle-1,0\rangle \cup \langle0,1\rangle.$$

Dakle, funkcija $f$ je rastuća na $\langle-\infty,-1\rangle \cup \langle1,+\infty \rangle$ , a padajuća na $\langle-1,0\rangle\cup \langle0,1\rangle$ . Prema [M1, teorem 5.13] slijedi da je točka $T_1(-1,\frac{2}{3})$ lokalni maksimum, a $T_2(1,-\frac{2}{3})$ lokalni minimum.

Promotrimo još kritičnu točku $x_3=0$ u kojoj nije definirana prva derivacija. Zbog

$$\lim\limits_{x\to0\pm0}f'(x)=-\infty,$$

$f$ pada slijeva i zdesna od $x_3$ , pa u $x_3$ nema lokalni ekstrem.

Lokalni ekstremi parametarski zadane     DERIVACIJE I PRIMJENE     Točke infleksije