Tok funkcije I

Ispitajte tok i skicirajte graf funkcije zadane s

$\displaystyle f(x)=x^2+\frac{2}{x}.$

Rješenje. Tok funkcije ispitujemo prema postupku opisanim u [M1, poglavlje 5.9].

Područje definicije
Područje definicije zadane funkcije ne uključuje nulu, odnosno $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R} \setminus \{0 \}$ .
Parnost
Vrijedi

$\displaystyle f(-x)=\left(-x\right)^2+ \frac{2}{-x}=x^2-\frac{2}{x}.$

Budući je $f(-x)\neq f(x)$ i $f(-x)\neq -f(x)$ , promatrana funkcija nije ni parna ni neparna.
Periodičnost
Funkcija nije periodična jer je elementarna i ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.
Nul-točke
Da bismo odredili nul-točke funkcije riješimo jednadžbu . Vrijedi

$\displaystyle x^2+\frac{2}{x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^3+2}{x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^3+2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\sqrt[3]{-2}$

$\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad x=-\sqrt[3]{2},$

pa je $x=-\sqrt[3]{2}$ nul-točka zadane funkcije.
Asimptote

a)

Vertikalne asimptote
Točka je jedini konačni rub domene i vrijedi

$\displaystyle \lim_{x \to 0-0}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x \to 0+0}f(x)=+\infty,$

pa je pravac jedina vertikalna asimptota funkcije .

b)

Horizontalne asimptote
U lijevom i desnom rubu domene vrijedi

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty.$

Dakle, funkcija nema horizontalnu asimptotu ni na lijevoj ni na desnoj strani.

c)

Kose asimptote
Računajući limese

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3+2}{x^2}=\pm \infty,$

zaključujemo da funkcija nema ni kose asimptote.
Ekstremi
Prva derivacija glasi

$\displaystyle f^\prime (x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2 x^3-2}{x^2}=2\cdot\frac{x^3-1}{x^2}.$

Područje definicije derivacije jednako je $\mathcal{D}_{f^\prime}=\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Dakle, je kritična točka funkcije . Rješavanjem vidimo da je stacionarna točka funkcije (druga kritična točka) . Dovoljne uvjete ekstrema provjerimo pomoću prve derivacije. Vrijedi:

a)

Za $x\in \left\langle-\infty,0\right\rangle$ je $f^\prime (x)<0$ pa je funkcija strogo padajuća na intervalu $\langle-\infty,0\rangle$ .

b)

Za $x\in \langle0,1\rangle$ je također $f^\prime (x)<0$ i funkcija je strogo padajuća na tom intervalu.

c)

Za $x\in \langle1,+\infty \rangle$ je $f^\prime (x)>0$ pa je funkcija strogo rastuća na intervalu $\langle1,+\infty \rangle$ .

Dakle, zadana funkcija ima lokalni minimum u točki .
Intervali monotonosti
Intervale monotonosti smo odredili u prethodnom koraku: funkcija je strogo padajuća na intervalima $\langle-\infty,0\rangle$ i $\langle0,1\rangle$ , a strogo rastuća na intervalu $\langle1,+\infty \rangle$ .
Intervali zakrivljenosti
Druga derivacija glasi

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2+\frac{4}{x^3}=\frac{2x^3+4}{x^3}=2\cdot\frac{x^3+2}{x^3}.$

Iz predznaka druge derivacije, prema [M1, teorem 5.15], slijedi da je funkcija konkavna na intervalu $\langle-\sqrt[3]{2},0\rangle$ i konveksna na $\langle-\infty,-\sqrt[3]{2} \rangle \cup \langle0,+\infty \rangle$ .
Točke infleksije
Rješenje jednadžbe $f^{\prime\prime}(x)=0$ je točka $x_3=-\sqrt[3]{2}$ . Budući je

$\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(x)=-\frac{12}{x^4},$

slijedi $f^{\prime\prime\prime}\left(-\sqrt[3]{2}\right) \neq 0$ pa funkcija ima točku infleksiju u $x_3=-\sqrt[3]{2}$ .
Graf funkcije
Graf funkcije je prikazan na slici 5.5.

**Slika 5.5:** Graf funkcije $\displaystyle f(x)=x^2+\frac {2}{x}$ .
$\begin{figure} % latex2html id marker 15633 \begin{center} \epsfig{file=derivacije/zad521.eps, width=8cm}\end{center}\end{figure}$

Geometrijski ekstrem IV DERIVACIJE I PRIMJENE Tok funkcije II

	$\displaystyle x^2+\frac{2}{x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^3+2}{x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^3+2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\sqrt[3]{-2}$
	$\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad x=-\sqrt[3]{2},$