×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Područje definicije sume i


Područje definicije funkcije

Odredite područje definicije funkcije $ f$ zadane s:

a)
$ f(x)=\displaystyle\log{\frac{x^2-3x+2}{x+1}}$ ,

b)
$ f(x)=\displaystyle\arccos({\log_{\frac{1}{3}}{x}})$ ,

c)
$ f(x)=\displaystyle\ln{\arcsin{\frac{x+2}{5-x}}}$ .

Rješenje.

a)
Prema [*] [M1, poglavlje 4.6.4] i [*] [M1, poglavlje 4.6.2], funkcija $ f$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi

$\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x+1}>0\quad\textrm{i}\quad x+1\neq0.$

Rastavljanjem lijeve strane prvog uvjeta na faktore dobivamo nejednadžbu

$\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{x+1}>0,$

koju zadovoljavaju svi $ x\in\langle -1,1\rangle\cup\langle 2,+\infty\rangle$ . Iz drugog uvjeta slijedi $ x\neq -1$ pa je

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\langle -1,1\rangle\cup\langle 2,+\infty\rangle.$

b)
Prema [*] [M1, poglavlje 4.6.6] i [*] [M1, poglavlje 4.6.4], funkcija $ f$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi

$\displaystyle -1\leq\log_{\frac{1}{3}}{x}\leq1 \quad\textrm{i}\quad x>0.$

Iz prvog uvjeta napisanog u obliku

$\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}{3}\leq\log_{\frac{1}{3}}{x}\leq\log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$

slijedi $ 3\geq x\geq\frac{1}{3}$ , jer je $ \log_{\frac{1}{3}}$ padajuća funkcija. Budući je segment $ [3,\frac{1}{3}]$ sadržan u intervalu $ \langle0,+\infty\rangle$ , koji je rješenje drugog uvjeta, dobivamo

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\left[ 3,\frac{1}{3}\right].$

c)
Prema [*] [M1, poglavlje 4.6.4], [*] [M1, poglavlje 4.6.6] i [*] [M1, poglavlje 4.6.2], funkcija $ f$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi

$\displaystyle \arcsin{\frac{x+2}{5-x}}>0,\quad -1\leq\frac{x+2}{5-x}\leq1\quad\textrm{i}\quad 5-x\neq0.$    

Iz prvog uvjeta i svojstava funkcije $ \arcsin$ (vidi [*] [M1, poglavlje 4.6.6]) slijedi

$\displaystyle \frac{x+2}{5-x}>0$    

pa prva dva uvjeta zajedno daju

$\displaystyle 0<\frac{x+2}{5-x}\leq 1.$    

Lijevu nejednakost zadovoljavaju svi

$\displaystyle x\in \left<-2,5\right>.$    

Raspisivanjem desne nejednakosti dobivamo

$\displaystyle \frac{x+2}{5-x} -1 \leq 0\quad\textrm{tj.}\quad \frac{2x-3}{5-x} \leq 0,$    

što vrijedi za sve

$\displaystyle x\in \left<-\infty ,\frac{3}{2}\right] \cup \left<5,+\infty \right>.$    

Područje definicije funkcije $ f$ je presjek dobivenih intervala, odnosno

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\left<-2,\frac{3}{2} \right].$    


FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Područje definicije sume i