×   HOME
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika1
Područje definicije funkcije     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Opća sinusoida


Područje definicije sume i razlike funkcija

Odredite područje definicije funkcije $ f$ zadane s:

a)
$ f(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits (x+2)-\ln(-x)$ ,

b)
$ f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}+e^{\frac{1}{x}}$ ,

c)
$ f(x)=\sqrt{16-x^2}+\log{\sin{(x-3)}}$ ,

d)
$ \displaystyle f(x)=\mathop{\mathrm{arch}}\nolimits {\left(\log{\frac{80x-170}{3-2x-5x^2}}\right)}+\sqrt{\log{\frac{3-2x-5x^2}{8x-17}}}$ .

Rješenje.

a)
Možemo pisati $ f(x)=f_1(x)-f_2(x)$ , gdje je $ f_1(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits (x+2)$ i $ f_2(x)=\ln(-x)$ . Prema [*] [M1, poglavlje 4.6.6], funkcija $ f_1$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ . Nadalje, prema [*] [M1, poglavlje 4.6.4], funkcija $ f_2$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje je $ -x>0$ , odnosno $ x<0$ . Područje definicije funkcije $ f$ kao razlike funkcija $ f_1$ i $ f_2$ je presjek njihovih područja definicije, odnosno

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\langle -\infty,0\rangle.$

b)
Možemo pisati $ f(x)=f_1(x)-f_2(x)+f_3(x)$ , gdje je $ f_1(x)=\sqrt{x+1}, f_2(x)=\sqrt{3-x}$ i $ f_3(x)=e^{\frac{1}{x}}$ . Područje definicije funkcije $ f$ je presjek područja definicije funkcija $ f_1, f_2$ i $ f_3$ . Stoga je, prema [*] [M1, poglavlje 4.6.2] i [*] [M1, poglavlje 4.6.3], funkcija $ f$ definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje su ispunjeni uvjeti

$\displaystyle \quad x+1\geq 0,\quad 3-x\geq 0$   i$\displaystyle \quad x\neq 0,$    

odnosno

$\displaystyle \quad x\geq -1,\quad x\leq 3$   i$\displaystyle \quad x\neq 0.$    

Dakle,

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=[-1,0\rangle \cup \langle 0,3].$    

c)
Možemo pisati $ f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ , gdje je $ f_1(x)=\sqrt{16-x^2}$ i $ f_2(x)=\log{\sin{(x-3)}}$ . Prema [*] [M1, poglavlje 4.6.2], funkcija $ f_1$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi

$\displaystyle \quad 16-x^2\geq 0,$    

pa je

$\displaystyle \mathcal{D}(f_1)=\left[-4,4\right].$    

Prema [*] [M1, poglavlje 4.6.4], funkcija $ f_2$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi

$\displaystyle \sin{(x-3)}>0,$    

odnosno, prema [*] [M1, poglavlje 4.6.5], za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje je

$\displaystyle 0+2k\pi<x-3<\pi+2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z},$    

tj.

$\displaystyle 3+2k\pi<x<3+(2k+1)\pi,\quad k\in \mathbb{Z}.$    

Dakle,

$\displaystyle \displaystyle\mathcal{D}(f_2)=\bigcup_{\substack{k\in \mathbb{Z}}}\left<3+2k\pi,3+(2k+1)\pi\right>.$

Područje definicije funkcije $ f$ kao sume funkcija $ f_1$ i $ f_2$ je presjek njihovih područja definicije. Budući $ \mathcal{D}(f_1)$ ima neprazan presjek jedino s intervalima

$\displaystyle \left<3-2\pi,3-\pi\right>\quad\textrm{i}\quad\left<3,3+\pi\right>$

iz $ \mathcal{D}(f_2)$ , koji se dobiju uvrštavanjem indeksa $ k=-1$ i $ k=0$ , dobivamo

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\left<3-2\pi,3-\pi \right> \cup \left<3,4\right].$    

d)
Možemo pisati $ f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ , gdje je

$\displaystyle f_1(x)=\mathop{\mathrm{arch}}\nolimits {\left(\log{\frac{80x-170}... ...5x^2}}\right)}\quad\textrm{i}\quad f_2(x)=\sqrt{\log{\frac{3-2x-5x^2}{8x-17}}}.$

Prema [*] [M1, poglavlje 4.6.9] i [*] [M1, poglavlje 4.6.4], funkcija $ f_1$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ koji zadovoljavaju

$\displaystyle \log{\frac{80x-170}{3-2x-5x^2}}\geq 1$   i$\displaystyle \quad \frac{80x-170}{3-2x-5x^2} > 0,$    

odnosno

$\displaystyle \frac{80x-170}{3-2x-5x^2}\geq 10$   i$\displaystyle \quad \frac{80x-170}{3-2x-5x^2} > 0.$    

Budući da rješenja prve nejednadžbe zadovoljavaju i drugu, funkcija $ f_1$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ koji zadovoljavaju

$\displaystyle \frac{80x-170}{3-2x-5x^2}\geq 10,$    

odnosno dijeljenjem s $ 10$ nejednadžbu

$\displaystyle \frac{8x-17}{3-2x-5x^2}\geq 1.$    

Analogno, prema [*] [M1, poglavlje 4.6.2] i [*] [M1, poglavlje 4.6.4], funkcija $ f_2$ je definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ koji zadovoljavaju

$\displaystyle \log{\frac{3-2x-5x^2}{8x-17}} \geq 0$   i$\displaystyle \quad \frac{3-2x-5x^2}{8x-17}>0,$    

odnosno

$\displaystyle \frac{3-2x-5x^2}{8x-17} \geq 1$   i$\displaystyle \quad \frac{3-2x-5x^2}{8x-17}>0,$    

pa je $ f_2$ definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje je

$\displaystyle \frac{3-2x-5x^2}{8x-17} \geq 1.$    

Područje definicije funkcije $ f$ je presjek područja definicije funkcija $ f_1$ i $ f_2$ pa je funkcija $ f$ definirana za sve $ x\in \mathbb{R}$ koji zadovoljavaju

$\displaystyle \frac{8x-17}{3-2x-5x^2}\geq 1$   i$\displaystyle \quad \frac{3-2x-5x^2}{8x-17}\geq 1,$    

što je moguće samo kada je (objasnite zašto!)

$\displaystyle \frac{3-2x-5x^2}{8x-17} = 1.$    

Množenjem ovog izraza s nazivnikom dobivamo kvadratnu jednadžbu

$\displaystyle x^2+2x-4=0$    

čija su rješenja

$\displaystyle x_1=-1-\sqrt{5}$   i$\displaystyle \quad x_2=-1+\sqrt{5}.$    

Dakle, zadana funkcija je definirana samo za brojeve $ x_1$ i $ x_2$ , odnosno

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{-1-\sqrt{5}, -1+\sqrt{5}\}.$    

Područje definicije funkcije     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Opća sinusoida