×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Tangenta i normala     Derivacija     Pravila deriviranja

Derivacije slijeva i zdesna

Ako u definiciji 5.1 ili formuli (5.1) umjesto limesa izračunamo limes slijeva odnosno zdesna (vidi poglavlje 4.3.2), dobit ćemo derivaciju slijeva odnosno zdesna u zadanoj točki.

Definicija 5.2   Derivacija slijeva funkcije $f$ u točki $x$ je broj

$$f'(x_-)=\lim_{\Delta x\to 0-0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},$$

ukoliko limes na desnoj strani postoji. Derivacija zdesna funkcije $f$ u točki $x$ je broj

$$f'(x_+)=\lim_{\Delta x\to 0+0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},$$

ukoliko limes na desnoj strani postoji.

Uspoređujući ovu definiciju s definicijom derivacije (5.1) zaključujemo da derivacija $f'(x)$ postoji ako i samo ako u točki $x$ postoje derivacije slijeva i zdesna i ako su one jednake.

Primjer 5.3   Funkcija $\vert x\vert$ (definicija 1.18) je neprekidna, ali je moramo rastaviti kako bi je mogli derivirati:

• za $x\geq 0$ vrijedi $\vert x\vert=x$ pa je $\vert x\vert'=1$ ,
• za $x<0$ vrijedi $\vert x\vert=-x$ pa je $\vert x\vert'=-1$ .

Dakle,

$$\vert x\vert'=\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x),$$

pri čemu je funkcija $\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits$ definirana u primjeru 4.7 i prikazana na slici 4.10. Vidimo da derivacija $\vert x\vert'$ ima u točki $x=0$ prekid prve vrste te da funkcija $\vert x\vert$ ima u točki $x=0$ derivacije slijeva i zdesna.

Tangenta i normala     Derivacija     Pravila deriviranja