Svojstva logaritama

☰ matematika1

Logaritamska funkcija Logaritamska funkcija Trigonometrijske funkcije

Svojstva logaritama

Najvažnija svojstva logaritamskih funkcija su:

	$\displaystyle \log_a x=\log_a b \cdot \log_b x \quad \textrm{(veza dvaju baza)},$	(L1)
	$\displaystyle \log_a b = \frac{1}{\log_b a},$	(L2)
	$\displaystyle \log_a (x\cdot y) = \log_a x + \log_a y, \quad x,y>0,$	(L3)
	$\displaystyle \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \quad x,y>0,$	(L4)
	$\displaystyle \log_a x^y = y \log_a x, \quad x>0,$	(L5)
	$\displaystyle x^r = a^{r\cdot \log_a x}, \quad x>0.$	(L6)

Dokaz svojstva (L1): jednakost

možemo koristeći logaritme s bazama

zapisati kao

$\displaystyle a^{\log_a x} = b^{\log_b x}.$

Uvrštavanje $b=a^{\log_a b}$ u gornju nejednakost i primjena svojstva potenciranja (P2) daju

$\displaystyle a^{\log_a x} = \left( a^{\log_a b}\right)^{\log_b x}= a^{\log_a b \cdot \log_b x}.$

Kako su u prethodnoj jednakosti baze jednake, to moraju biti jednaki i eksponenti, odnosno svojstvo (L1) vrijedi.
Dokaz svojstva (L2): kada u svojstvo (L1) uvrstimo

dobijemo

$\displaystyle 1=\log_a a = \log_a b \cdot \log_b a.$

Dokaz svojstva (L3): slično kao u dokazu svojstva (L1) izraz $xy=x\cdot y$ možemo zapisati kao

$\displaystyle a^{\log_a (xy)}=a^{\log_a x} \cdot a^{\log_a y}=a^{\log_a x + \log_a y}.$

Svojstva (L4-L6) dokazuju se slično.

Napomena 4.10 Kako većina programa za crtanje funkcija može crtati samo funkcije $\log x$ i $\ln x$ , kod crtanja funkcija $\log_2 x$ i $\log_{1/2} x$ na slikama 4.25 i 4.26 korištena su svojstva (L1) i (L2). Program Gnuplot pomoću kojeg su nacrtane slike funkciju $\ln x$ označava s log(x).

Zadatak 4.10 Nacrtajte funkcije $\log x$ , $\ln x$ , $\log_3 x$ i $\log_{1/3} x$ . Jesu li te funkcije omeđene, monotone, neprekidne i imaju li asimptote?

Logaritamska funkcija Logaritamska funkcija Trigonometrijske funkcije