×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Ispitivanje toka funkcije     Ispitivanje toka funkcije     Rješavanje problema ravnoteže

Parametarski zadana funkcija

Postupak opisan u prethodnim poglavljima se, uz odgovarajuće izmjene, može primijeniti i za ispitivanje toka parametarski zadane funkcije. Međutim, kako su kod parametarski zadanih funkcija varijable $x$ i $y$ ravnopravne, postupak ispitivanja takvih funkcija može biti složeniji od ispitivanja eksplicitno zadanih funkcija.

Ispitivanje toka parametarski zadane funkcije ilustrirat ćemo na primjeru Descartesovog lista iz primjera 4.2, 4.4 i 4.12, koji je u parametarskom obliku zadan s

$$x=x(t)=\frac{3\,t^2}{t^3+1},\qquad y=y(t)=\frac{3\,t}{t^3+1}.$$

1.

Područje definicije
Funkcija je definirana za $t\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ . Primijetimo da za ove vrijednosti parametra $t$ , varijable $x$ i $y$ poprimaju sve vrijednosti iz skupa $\mathbb{R}$ .

2.

Parnost
Kako kod implicitno zadane funkcije jednoj vrijednosti varijable $x$ može odgovarati više vrijednosti varijable $y$ , to definicija parne i neparne funkcije na način dan u definiciji 4.2 nema smisla. Kod parametarski zadanih funkcija ima smisla koristiti sljedeću definiciju: funkcija je parna ako je njen graf simetričan s obzirom na $y$ -os, a neparna ako je njen graf simetričan s obzirom na ishodište. Primijetimo da je ova definicija uključuje definiciju 4.2.

Ispitajmo parnost zadane funkcije po prethodnoj definiciji. Pretpostavimo da je funkcija parna. Ako je točka $(x(t),y(t))$ element grafa funkcije, tada je i točka $(-x(t),y(t))$ također element grafa funkcije. No, tada postoji $t_1\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ takav da je $(-x(t),y(t))=(x(t_1),y(t_1))$ . Uvrštavanje u definiciju funkcije daje

$$-x(t)\equiv -\frac{3\,t^2}{t^3+1}=\frac{3\,t_1^2}{t_1^3+1}\equiv ... ...1), \qquad y(t)\equiv \frac{3\,t}{t^3+1}=\frac{3\,t_1}{t_1^3+1}\equiv y(t_1).$$

Gornje jednakosti su ispunjene samo za $t=t_1=0$ . Naime, za $t,t_1\neq 0$ gornje jednakosti povlače

$$-\frac{3\, t^2}{3\, t_1^2}=\frac{3\, t}{3\, t_1}=\frac{t^3+1}{t_1^3+1}.$$

Nakon kraćenja prva jednakost povlači $-t/t_1=1$ , odnosno $t_1=-t$ . Uvrštavanje u drugu jednakost daje $-1=(t^3+1)/(-t^3+1)$ , odnosno $t^3-1=t^3+1$ što je nemoguće pa zaključujemo da funkcije nije parna.

Pretpostavimo sada da je funkcija neparna. Ako je točka $(x(t),y(t))$ element grafa funkcije, tada je i točka $(-x(t),-y(t))$ također element grafa funkcije. No, tada postoji $t_1\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ takav da je $(-x(t),-y(t))=(x(t_1),y(t_1))$ . Uvrštavanje u definiciju funkcije daje

$$-x(t)\equiv -\frac{3\,t^2}{t^3+1}=\frac{3\,t_1^2}{t_1^3+1}\equiv ... ..., \qquad -y(t)\equiv -\frac{3\,t}{t^3+1}=\frac{3\,t_1}{t_1^3+1}\equiv y(t_1).$$

Kao i u prethodnom slučaju, gornje jednakosti su ispunjene samo za $t=t_1=0$ . Naime, za $t,t_1\neq 0$ gornje jednakosti povlače

$$-\frac{3\, t^2}{3\, t_1^2}=-\frac{3\, t}{3\, t_1}=\frac{t^3+1}{t_1^3+1}.$$

Nakon kraćenja prva jednakost povlači $t/t_1=1$ , odnosno $t_1=t$ . Uvrštavanje u drugu jednakost daje $-1=(t^3+1)/(t^3+1)$ , što je nemoguće pa zaključujemo da funkcije nije neparna.

3.

Periodičnost
Funkcija nije periodična, jer su $x$ i $y$ zadane pomoću elementarnih funkcija, a ne sadrže neku od trigonometrijskih funkcija.

4.

Nul-točke
Jednadžba $x(t)=0$ povlači $t=0$ , a jednadžba $y(t)=0$ također povlači $t=0$ pa je ishodište jedina nul-točka funkcije.

5.

Asimptote

a)

Vertikalne asimptote
Funkcija nema vertikalnih asimptota jer je $x\in \mathbb{R}$ .

b)

Horizontalne asimptote
U primjeru 4.12 smo pokazali da $x\to -\infty$ kada $t\to -1-0$ . No,

$$\lim_{t\to -1-0}y(t)=\lim_{t\to -1-0}\frac{3\,t}{t^3+1} =\frac{3\,(-1)}{(-1-0)^3+1}=\frac{-3}{-0}=+\infty$$

pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u lijevoj strani. Slično, $x\to +\infty$ kada $t\to -1+0$ . Kako je

$$\lim_{t\to -1+0}y(t)=\lim_{t\to -1+0}\frac{3\,t}{t^3+1} =\frac{3\,(-1)}{(-1+0)^3+1}=\frac{-3}{+0}=-\infty,$$

zaključujemo da funkcija nema horizontalnu asimptotu ni u desnoj strani.

c)

Kose asimptote
U primjeru 4.12 smo pokazali da je pravac $y=-x-1$ kosa asimptota u obje strane.

6.

Ekstremi
Za razliku od implicitno zadane funkcije, kod parametarski zadane funkcije su varijable $x$ i $y$ ravnopravne pa možemo imati dvije vrste lokalnih ekstrema:

a)

lokalni ekstrem po $x$ , odnosno lokalno najmanji ili najveći $y$ i

b)

lokalni ekstrem po $y$ , odnosno lokalno najmanji ili najveći $x$ .

Ekstreme po $x$ i po $y$ također tražimo pomoću prve i viših derivacija kako je opisano u poglavlju 5.7, odnosno koristeći teoreme 5.12, 5.13, 5.14 i 5.18. Pri tome derivacije $y'_x$ i $x'_y$ , kao i više derivacije, računamo po pravilima o deriviranju parametarski zadanih funkcija iz poglavlja 5.4:

$$y'_x=\frac{\dot y}{\dot x}, \qquad x'_y=\frac{\dot x}{\dot y}, \qquad y''_x=\frac{\ddot y \dot x-\dot y \ddot x}{\dot x^3}.$$

Zbog složenosti postupka, kod ispitivanje ekstrema i monotonosti potrebno je voditi računa o mnogim detaljima.

Nađimo ekstreme po $x$ . Vrijedi

$$\dot x(t) =\frac{6\,t \,(t^3+1)-3\, t^2\cdot 3\, t^2}{(t^3+1)^2}= \frac{3\, t\, (-t^3+2)}{(t^3+1)^2},$$

$$\dot y(t) =\frac{3\,(t^3+1)-3\, t\cdot 3\, t^2}{(t^3+1)^2}= \frac{3\, (-2\, t^3+1)}{(t^3+1)^2}.$$

Dakle,

$$y'_x=\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}=\frac{\frac{3\, (t^3+1)-3\, t\cd... ..., (t^3+1)-3\, t^2\cdot 3\, t^2} {(t^3+1)^2}}= \frac{-2\, t^3+1}{t\, (-t^3+2)}.$$

Po Teoremu o nužnim uvjetima ekstrema 5.12 imamo tri točke u kojima se mogu nalaziti lokalni ekstremi i to za vrijednosti parametra $t_1=0$ , $t_2=1/\sqrt[3]{2}$ i $t_3=\sqrt[3]{2}$ . Međutim, da bi mogli ispravno primijeniti teoreme o nužnim i dovoljnim uvjetima ekstrema iz poglavlja 5.7, potrebno je da je u okolini kritičnih točaka zaista definirana neka funkcija $y=f(x)$ . Po teoremu 4.1, to će sigurno biti ispunjeno ako je u okolini promatrane točke funkcija $x(t)$ injekcija. S druge strane, $x(t)$ je sigurno injekcija tamo gdje je strogo rastuća ili padajuća. Vidimo da u okolini točke $t_2$ vrijedi $\dot x(t)>0$ pa je po Teoremu o monotonosti 5.11 funkcija $x(t)$ strogo rastuća u okolini točke $t_2$ . Kako $y'_x$ mijenja predznak s $+$ na $-$ u okolini točke $t_2$ , teorem 5.13 nam kaže da se radi o lokalnom maksimumu. To, međutim, nije dovoljno! Naime, kako bi zaista bili sigurni da se radi o lokalnom maksimumu po $x$ u smislu definicije 5.4, moramo još provjeriti da i funkcija $x(t)$ raste u okolini točke $t_2$ . No, to smo već pokazali jer je u toj okolini $\dot x(t)>0$ pa je naš zaključak da se radi o lokalnom minimumu opravdan. (Obrnuti slučaj pokazat ćemo kasnije).

Međutim, s ovim još nismo riješili status točaka $t_1$ i $t_3$ . Pogledajmo sada ekstreme po $y$ . Vrijedi

$$x'_y=\frac{\dot x(t)}{\dot y(t)}= \frac{t\, (-t^3+2)}{-2\, t^3+1}.$$

Očito je u okolinama točaka $t_1=0$ i $t_3=\sqrt[3]{2}$ derivacija $\dot y(t)\neq 0$ pa je funkcija $y(t)$ injekcija. U okolini točke $t_1$ je $\dot y(t)>0$ , odnosno $y(t)$ je rastuća, a kako $x'_y$ mijenja predznak s $-$ na $+$ radi se o lokalnom minimumu. U okolini točke $t_3$ derivacija $x'_y$ također mijenja predznak s $-$ na $+$ pa bi mogli zaključiti da se radi o lokalnom minimumu po $y$ . Kako je u toj okolini $\dot y(t)<0$ , odnosno $y(t)$ je padajuća, zaključujemo da se zapravo radi o lokalnom maksimumu. Naime, činjenica da $y(t)$ pada, zapravo znači da je derivacija $x'_y$ negativna desno od točke $y(t_3)$ , a pozitivna lijevo od te točke, što je zapravo definicija lokalnog maksimuma gledano od desne prema lijevoj strani.

Radi lakšeg praćenja prethodnog izlaganja, funkcije $x(t)$ i $y(t)$ te njihove derivacije po parametru $t$ i po $x$ i $y$ prikazane su na slikama 5.15, 5.16 i 5.17. Vidimo da je prilikom ispitivanja toka parametarski zadane funkcije korisno detaljno ispitati i tokove funkcija $x(t)$ i $y(t)$ . To je u ovom slučaju jednostavno, jer se radi o racionalnim funkcijama.

Slika 5.15: Varijable $x$ i $y$ Descartesovog lista

Slika 5.16: Derivacije varijabli Descartesovog lista po parametru

Slika 5.17: Derivacije Descartesovog lista po varijablama $x$ i $y$

Ove slike nam daju još neke korisne informacije. Tako iz oblika funkcija $x(t)$ i $y(t)$ na slici 5.15 zaključujemo se na dijelu grafa funkcije ista vrijednosti varijable $x$ javlja za tri različite točke (konkretno, isti $x$ se javlja za po jedan $t$ iz intervala $(-1,0)$ , $(0,t_2)$ i $(t_2,+\infty)$ ). S druge strane, svakoj vrijednosti $t\in(-\infty,-1)$ odgovara točno jedan $x$ (funkcija $x(t)$ je na tom intervalu injekcija). Također, kako funkcija $x(t)$ raste na intervalu $(0,t_2)$ , a pada na intervalu $(t_2,+\infty)$ , zaključujemo da tu graf funkcije ima petlju.

7.

Intervali monotonosti
Ispitat ćemo monotonost od $y$ kao funkcije od $x$ koristeći teorem 5.11. Radi preglednosti rezultate ćemo prikazati tablično. U tablici 5.1 prikazani su redom intervali parametra $t$ , vrijednost derivacije $y'_x$ te kao posljedica, monotonost odgovarajuće funkcije $y=f(x)$ . Radi lakšeg crtanja grafa funkcije prikazani su i odgovarajući intervali u kojima se nalazi varijabla $x$ te vrijednost derivacije $\dot x(t)$ iz koje zaključujemo da li na danom intervalu $x(t)$ raste ili pada.

Tablica 5.1: Monotonost Descartesovog lista

$t$	$y'_x$	$y=f(x)$	$x(t)$	$\dot x(t)$
$(-\infty,-1)$	$-$	pada	$(-\infty,0)$	$-$
$(-1,0)$	$-$	pada	$(0,+\infty)$	$-$
$(0,t_1)$	$+$	raste	$(0,\sqrt[3]{2})$	$+$
$(t_1,t_2)$	$-$	pada	$(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$	$+$
$(t_2,+\infty)$	$+$	raste	$(0,\sqrt[3]{4})$	$-$

Iz tablice 5.1 se također lijepo vidi da graf krivulje ima petlju za $t\in(0,+\infty)$ , odnosno za $x\in(0,\sqrt[3]{4}]$ , kao i da svakoj vrijednosti $x\in(0,\sqrt[3]{4})$ odgovaraju tri vrijednosti varijable $y$ .

8.

Zakrivljenost
Ispitat ćemo zakrivljenost od $y$ kao funkcije od $x$ . Pri tome ćemo koristiti napomenu 5.2 d), sliku 5.17 iz koje vidimo da li na odgovarajućem intervalu derivacija $y'_x$ raste ili pada te sliku 5.15 iz koje vidimo da li funkcija $x(t)$ raste ili pada. Zaključujemo na sljedeći način:

• ako na nekom intervalu $y'_x$ raste i pri tome $x(t)$ raste, tada je graf funkcije na tom intervalu konveksan;
• ako na nekom intervalu $y'_x$ raste, a pri tome $x(t)$ pada, to zapravo znači da $y'_x$ pada kada $x$ raste pa je graf funkcije na tom intervalu konkavan;
• ako na nekom intervalu $y'_x$ pada i pri tome $x(t)$ raste, tada je graf funkcije na tom intervalu konkavan;
• ako na nekom intervalu $y'_x$ pada, a pri tome $x(t)$ pada, to zapravo znači da $y'_x$ raste kada $x$ raste pa je graf funkcije na tom intervalu konveksan.

Radi preglednosti rezultate ćemo opet prikazati tablično. U tablici 5.2 dani su redom intervali parametra $t$ , ponašanje derivacije $y'_x$ , ponašanje varijable $x(t)$ i konačan zaključak o zakrivljenosti.

Tablica 5.2: Zakrivljenost Descartesovog lista

$t$	$y'_x$	$x(t)$	zakrivljenost
$(-\infty,-1)$	pada	pada	konveksna
$(-1,0)$	pada	pada	konveksna
$(0,t_1)$	pada	raste	konkavna
$(t_1,t_2)$	pada	raste	konkavna
$(t_2,+\infty)$	pada	pada	konveksna

9.

Točke infleksije
Iz definicije 5.8 i tablice 5.2 slijedi da se infleksije nalaze u točkama za koje je $t=0$ i $t=t_2$ , odnosno u točkama $(0,0)$ i $(\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{2})$ .

10.

Graf funkcije
Kombinirajući sve prethodne rezultate dobijemo graf zadane funkcije i njene kose asimptote, koji je prikazan na slici 4.6.

Ispitivanje toka funkcije     Ispitivanje toka funkcije     Rješavanje problema ravnoteže